период отработки начинается на следующий день после подачи заявления. В этот период входит и отпуск, и больничный. Заявление необходимо регистрировать у секретаря или в ОК ( на копии поллучить отметку с датой и подписью принявшего), если это не возможно - высылайте телеграмму с уведомлением о вручении.
У всс накладка в датах получается. Попросите на новом месте оформить вас пока по договору подряда или по совместительству, до получения трудовой.