Агентство ни даёт гарантий и не несёт юридическую ответственность.
Если у Вас остались те договора, почитайте их внимательно.
Причём тут оплата за сутки? Если няня работает сутками, то её желание вполне логично.
Вы можете сами заключить с няней договор, с указанием всех параметров, но это будет договор с Вами на оказание услуг. Ответственность няня будет нести перед Вами, согласно этому договору. Но по закону, за ребёнка отвечаете Вы.