Лучше по кнопке конечно. Это должно быть конкретное начисление со скидкой, которое привязано к вашему заявлению. Если вы решите оплатить самостоятельно, то госпошлина оплачивается в полном объёме, только такую примут, квитанция приносится при подаче документов.
В ведомство пишите, прям каждый день можете, то что они вам ответят мало реально, обычно это односторонняя переписка. Но начисление появится может.
Ну или обращаться лично и узнавать УИН платежа, я вам об этом уже писала.