Причина "отскакивания" плитки- в клею. Фанера гигроскопична, т.е. она очень лихо забрает в себя влагу. Плиточный клей, как известно, разводится водой и в сметанообразном состоянии наносится на плитку и основу. Высыхать он должен естественным путем. Ускоренная сушка, связанная с быстрой потерей влаги, ему противопоказана.
Используйте обычный плиточный клей. НО: фанеру надо обязательно грунтовать! Еще лучше- покрыть её влагоизоляционным составом, типа "АкваСтоп" и прочее. Тогда, фактически, у Вас получится нанесение клея не на фанеру, а на покрывающую эту фанеру пленку.
Можно. Предварительная подготовка - см. выше. Далее - всё согласно технологии укладки теплого пола- фольга, пробка.